|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
Quantrinas: А я как раз серебрянную получил, уже вернули. Круглым отличником я никогда не был. То труд какой-нибудь, то физкультура.  |
Я девять классов был круглым отличником, а в десятом съехал) |
|
|
| номер сообщения: 49-47-44338 |
|
|
|
|
| номер сообщения: 49-47-44383 |
|
|
|
|
Голова идёт кругом. Снова о группах.
Я уже писал о чуде - возможности в определении группы требовать не существование единицы и обратного элемента, а только левой единицы и левого обратного.
https://niktoinikak.livejournal.com/1337538.html
Сейчас снова занялся этим. Ну я каждый раз совершенно не помню, Но знаю, что я это легко сделаю формальным трюком(он по ссылке описан) - помнить его не нужно, каждый раз выведу заново без труда.
Помнил и то, что я понял ситуацию(и это там описано в комментариях) - но позабыл, и захотел воссстановить.
Ну, смотрим.
1.Прежде всего ясно, что умножение слева на любой элемент - иньекция, т е разные элементы при этом переходят в разные. В самом деле, пусть
gx = gy
Умножая слева на обратный к g, получаем х = у
2. Докажем, что это умножение - и сюрьекция, т е уравнение
gx = t разрешимо для любого t
В самом деле, опять таки умножая на левый обратный к g - обозначим его g' - получаем x = g't
Простенько. Но радоваться рано. Доказано только то, что если решение существует - оно таково. Надо проверить.
Проверяем
gg't = ...
А хрен знает чему оно равно.
Если бы левый обратный был бы и правым - то было бы ОК. Но это неизвестно.
И вот тут простенькое рассуждение, которое мне предствляется чудом.
Предположим, что умножение на некое g - не сюрьективно. Т е образ gG( G - наша группа) - G' не совпадает с G, т е существует элемент f, который нельзя получить умножением на g Умножая его на g', получаем некоторое f'. Но ведь g'g - тождественное отображение, т е существует некий элeмент(и мы знаем его - это gf') который при умножении на g' даёт f' ! А поскольку умножение на любой элемент иньективно, значит f совпадает с этим элементом, т е содержится в образе G при умножении на g, те это умножение - сюрьекция!
Обалдеть.
Ну и получили что левый обратный всегда и правый. То, что тогда левая единица - и правая получатся уже совсем просто:
ge = g(g'g) = (gg')g = eg = g
Поясню, что мне представляется чудом. Мы вроде ничего не можем сказать о
gg't . Но - всё-таки смогли. Причём из каких-то совершенно абстрактных соображений. |
|
|
| номер сообщения: 49-47-44409 |
|
|
|
|
Это чем-то напоминает Хайдеггера в его попытках сесть в кресло Гуссерля  |
|
|
| номер сообщения: 49-47-44410 |
|
|
|
|
| Разобрал (далеко не 1-ый раз в жизни :-) ) параграф о Силовских подгруппах в Ленге. Завтра вероятно сделаю пост с моим пересказом. Каждый раз ощущение чуда - как от методов получения оценок физиками или скажем вывода что матрица ортогональная по строкам ортогональна и оо столбцам из соображений биекции - из ничего получается совершенно нетривиальная информация. Но и чувство полнейшей неудовлетворённости. На вопрос "Почему?" эти манипуляции(изложенные у Ленга) ответа не дают(по крайней мере мне). Квалифицированные математики - вы знаете д-во, которое показывает суть дела - как скажем относительно ортогональности соображения двойственности. |
|
|
| номер сообщения: 49-47-44411 |
|
|
|
|
Силовские подгруппы.
р-группой называется конечная группа, порядок которой является степенью р.
Пусть G - конечная группа, р - простое число, делящеe её порядок, n - наибольшая степень р, на которую делится порядок G.
Силов открыл следующие поразительные факты:
1. В G существуют подгруппы порядка р**n (они называются силовскими)
2. Каждая р-подгруппа G содержится в некоторой силовской р-подгруппе.
3. Все силовские р-подгруппы сопряжены.
4. Число силовских р-подгрупп сравнимо с 1 mod p
Доказательство.
Начнём с простой леммы.
Пусть G - конечная абелева группа порядка m. а р - простое число делящее m, то в G есть элемент порядка р(Ленг пишет "содержит подгруппу порядка р" - что менее имхо ясно, но удобнее в контексте).
Это просто и естественно доказывается. Берём любой элемент, если его порядок дeлится на р, то всё хорошо, если нет, действуем по индукции - предполагаем, что для меньших порядков доказано, берём фактор по подгруппе порождённoй данным элементом, в нём нужная пoдгруппа есть(по предположению), и берём её прообраз в G - там находится нужный элемент.
А дальше начинаются чудеса.
Действуем от противного. Пусть в G нет силовской p-подгруппы.
Напомним - если группа действует на множестве(т е есть гомоморфизм группы в группу перестановок множества), то порядок орбиты любого элемента множества - индекс её стабилизатора.
Рассмотрим действие G нa себе сопряжениями(x-> g**(-1)xg)
Орбита каждого элемента х из центра(т е коммутирующего со всеми остальными) состоит из одного элемента - самого х. Порядок орбиты любого другого элемента делится на р - т к по предположению нет силовских подгрупп. Но тогда и число элементов центра - тоже делится на p И по лемме в нём есть элемент порядка р. Его степени образуют подгруппу порядка р, очевидно нормальную - т к она в центре, В факторе по ней по предположении индукции есть подгруппа порядка n-1, беря её прообраз - получаем нужную нам силовскую подргруппу в G.
Oтличие моего изложения от Ленга(я практически переписал) в одном - он не акцентирует что мы действуем от противного, что для меня влечёт некоторые трудности в понимании, и я сказал об этом явно.
1-ое утверждение доказано. Пусть теперь G действует сопряжениями на множестве своих подгрупп. Орбита некой силовской подгруппы Н(как доказано, существующей) - некоторое множество силовских подгрупп S. Т к стабилизатор Н очевидно содержит Н, то порядок орбиты взаимно прост с р.
Возьмём теперь некоторою р-подгруппу Т. Она действует на S, и S распадается на некоторое число орбит относительно действия Т. Т к все собственные подгруппы Т имеют индекс делящийся на Т, то существуют в S группы, стабилизатором которых является сама Т(напоминаем - порядок S не делится на р) Понятно, что Т является подгруппой этих групп. В самом деле - пусть К такая подгруппа(силовская, напомним, в G). Т к порядок КТ очевидно степень р, то КТ совпадает с К. Т е Т подгруппа К. Мы доказали, что всякая р-подгруппа входит в силовскую, причём сопряжённую с Н - т е пункты 2 и 3. Если в качестве T взять одну из силовских, то немедленно получается и 4.
Нет слов. Листья ясеня. Рот(мой) раскрывается в немом восхищении. |
|
|
| номер сообщения: 49-47-44412 |
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
| Copyright chesspro.ru 2004-2025 гг. |
|
|
|
